अनंताची कहाणी

"आता साधं घर घ्यायचीच गोष्ट बघा! त्यात अनंत अडचणी!"
असं आपण किती सहजपणे म्हणतो. पण खरं तर अडचणी अनंत नसतात. त्यांची संख्या प्रचंड मोठी असली तरी ती अनंत नसते. आपल्याला जेव्हा एखादी संख्या खूप मोठी वाटत असते तेव्हा आपण तिला बोलीभाषेत अनंत म्हणतो आणि कोणती संख्या कोणाला अनंत वाटते हे फारच सापेक्ष असते. हे त्या त्या व्यक्तीवर, बोलतानाच्या आजूबाजूच्या परिस्थितीवर अवलंबून असते. पण गणितातील अनंत मात्र असे नसते.

कसे असते गणितातील अनंत? माझ्या लहानपणी 'चहाची पुडी' मिळायची. सध्या नेस्कॅफेची जशी पाकिटं मिळतात त्यापेक्षा जरा लांबट पण अरुंद अशा कागदी पाकिटात ही चहाची पूड असे. आता ह्याचा 'ब्रँड' वगैरे कुठला हे काही मला आठवत नाही. त्याची चवही मला माहीत नाही कारण आम्ही तो चहा कधीच आणत नसू. पण मला त्या पुडीचं आकर्षण वेगळ्याच कारणासाठी होतं. त्याच्यावर एका बाईचं चित्र असायचं आणि तिच्या हातात तीच चहाची पुडी आणि त्यावर पुन्हा बाईचं चित्र! आईनं सांगितलेलं काहीतरी आणायला मी वाण्याच्या दुकानात गेले की त्या पुडीकडे मी डोळे ताणून ताणून बघत असे आणि किती बाया आपल्याला दिसतायत ते मोजत असे. पुडीच्या आकारमानाच्या मर्यादेमुळे ३ किंवा ४ बायांच्या पेक्षा जास्त बाया दिसत नसत. त्यावेळी अनंत वगैरे काही कळलं नाही तरी हा न संपणारा प्रकार आहे हे कळलं होतं. पण तत्त्वतः हे गणितातील अनंताचे उदाहरण आहे हे बऱ्याच मोठेपणी कळले.

आणखी एक उदाहरण पाहू. तुम्हाला एक फूटभर लांबीची फीत दिली आणि सांगितले की "त्याचे दोन सारखे तुकडे करा, एक तुकडा बाजूला ठेवा, दुसऱ्याचे पुन्हा दोन सारखे तुकडे करा, एक बाजूला ठेवा, पुन्हा दुसऱ्याचे दोन सारखे तुकडे करा. फीत संपेपर्यंत हेच पुन्हा पुन्हा करत राहा आणि हे किती वेळा केलेत ते सांगा." थोडा विचार केल्यावर लक्षात येईल की आपली चिकाटी संपेल पण फीत कधीच संपणार नाही. त्यामुळे 'किती वेळा' चे उत्तर अनंत असे आहे. अर्थात आधीच्या उदाहरणात पुडीच्या आकारमानाची मर्यादा होती तशीच इथे पण आहे. फितीची लांबी कात्रीच्या पात्याच्या जाडीहूनही लहान झाल्यावर कापणार तरी कसे? पण हेही अनंताचे एक उदाहरण आहे.

आणखी कुठे कुठे हे अनंत(infinity) आपल्याला भेटते? एकूण पूर्णांक किती विचारलं तर त्याचं उत्तर देता येईल का? कोटी, दशकोटी, अब्ज असं करत गेलो तरी त्यापुढे पूर्णांक आहेतच. म्हणूनच पूर्णांक हे अनंत(infinite) आहेत. तुमच्या समोरच्या व्यक्तीने कितीही मोठा पूर्णांक सांगितला तरी तुम्ही त्याच्यापुढील पूर्णांक सांगू शकता. आम्ही लहानपणी खेळताना कोण किती चिंचा, आवळे खाऊ शकेल याबद्दल पैजा लावायचो तेव्हा कोणीतरी चतुर मुलगी म्हणायची, "तू जे काही म्हणशील त्याच्यावर माझी एक चिंच!" त्यातलाच प्रकार.

आता १ ते ५० पूर्णांक घेतले तर त्यात सम पूर्णांक २५ आणि विषम पूर्णांक २५ आहेत. म्हणजे आपण घेतलेल्या पूर्णांकांच्या संचातील सदस्यांपेक्षा सम(विषम) पूर्णांकांच्या सदस्यांची संख्या कमी आहे. पूर्णांकांच्या संचाला प म्हटलं, सम पूर्णांकांच्या संचालास म्हटलं आणि विषम पूर्णांकांच्या संचालाव म्हटलं तरसआणिव हे दोन्हीहीप पेक्षा लहान आहेत हे उघड आहे. या ठिकाणी आपण पूर्णांकांचा सान्त (finite)संच घेतला आहे. पण जर आपण सर्व म्हणजे अनंत पूर्णांक घेतले तर त्यातील सम(विषम) पूर्णांकांची संख्या किती? अर्धे अनंत? सम आणि विषम पूर्णांकांच्या बाबतीतही कोणीही कितीही मोठा सम(विषम) पूर्णांक सांगितला तरी त्यापुढचा सम(विषम) पूर्णांक सांगता येतोच. म्हणजे हे पण अनंत आहेत. म्हणजे उपसंचाचे आकारमान संचाएवढेच? पण हे तर बरोबर नाही. मग हा तिढा सोडवायचा कसा?

त्यासाठी पहिली गोष्ट म्हणजे सान्त संचाचे नियम अनंत सदस्य असलेल्या संचाला लागू पडतीलच असे नाही हे लक्षात ठेवायचे. कोणतेही दोन संच सारखे असणे किंवा नसणे हे आपण कसे ठरवतो? तर त्यातील सदस्य मोजून. आपल्याला आकडे मोजता येतात(कितीपर्यंत? प्रत्येकाने आपले आपण मनातल्या मनात उत्तर द्यावे!) म्हणून आपण हे करू शकतो. पण ज्यांना आकडे मोजता येत नाहीत त्यांनी काय करायचे?

आता अशी कल्पना करा की दोन वाट्यांमध्ये काही मणी ठेवलेले आहेत. दोन्ही वाट्यांत सारखे मणी आहेत की नाही ते आपल्याला बघायचे आहे. पण ज्याला १०च्या पुढे आकडे मोजता येत नाहीत अशा एखाद्या अशिक्षित माणसाला हे काम सांगितलं तर तो हे सांगू शकेल का? लक्षात घ्या, तो माणूस अशिक्षित आहे, निर्बुद्ध नाही. तर तो ठरवू शकेल का की कोणत्या वाटीत जास्त मणी आहेत? ह्याचे उत्तर होकारार्थी आहे. तो दर वेळी प्रत्येक वाटीतील एक एक मणी घेऊन त्यांच्या जोड्या लावेल आणि ज्या वाटीत जोडीदाराशिवाय मणी राहतील त्या वाटीत जास्त मणी होते असा निष्कर्ष काढेल.

१	<->	२		१	<->	१
२	<->	४		२	<->	३
३	<->	६		३	<->	५
४	<->	८		४	<->	७
५	<->	१०		५	<->	९
६	<->	१२		६	<->	११
७	<->	१४		७	<->	१३
८	<->	१६		८	<->	१५
९	<->	१८		९	<->	१७
१०	<->	२०		१०	<->	१९
...		...		...		...
...		...		...		...
सारणी १				सारणी २

पूर्णांक, सम पूर्णांक, विषम पूर्णांक यांचे संच सारखेच आहेत का लहानमोठे, हे ठरविण्यासाठी आपण त्या अशिक्षित माणसाचीच पद्धत वापरणार आहोत. कारण दोन संचांमधील लहानमोठा ठरवण्याची ती एक तर्कशुद्ध पद्धत आहे. हेच अधिक शास्त्रीय भाषेत असे म्हटले जाते.: एका संचातील प्रत्येक सदस्याशी दुसऱ्या संचातील एका आणि फक्त एकाच सदस्याशी आपण नाते जोडू शकलो आणि अशा रीतीने दुसऱ्या संचातील सर्व सदस्यांशी नाते जोडले गेले तर दोन्हीतील सदस्यसंख्या सारखी आहे. ह्या नातेसंबंधाला गणिताच्या भाषेत एकास एक नाते (one to one correspondance) असे म्हणतात.

आता सारणी-१ आणि सारणी - २ पाहा. यावरून असे लक्षात येईल की पूर्णांक आणि सम पूर्णांक तसेच पूर्णांक आणि विषम पूर्णांक यांच्यात एकास एक नातेसंबंध जोडला गेला आहे. म्हणजेच हे तिन्ही संच सारख्याच आकारमानाचे आहेत. याचा अर्थ पूर्णांक, सम पूर्णांक आणि विषम पूर्णांक या तिन्हीची अनंते सारखीच आहेत. फक्त अनंत ही काही संख्या नसून ती एक संकल्पना आहे. त्यामुळे अनंते सारखीच आहेत असे न म्हणता ती एकाच तोडीची (of the same level) आहेत असे म्हणणे जास्त योग्य ठरेल.

पूर्णांकांच्या नंतर आता अपूर्णांकांकडे वळू. अपूर्णांक म्हणजे १/२, ३/५, २३/४, ५४१/१३ इत्यादी. पूर्णांक आणि अपूर्णांक यांना एकत्रितपणे परिमेय (rational) संख्या म्हणतात. काटेकोर व्याख्या म्हणजे जी संख्या एक पूर्णांक भागिले दुसरा पूर्णांक अशा प्रकारे लिहिता येते ती परिमेय संख्या.

परिमेय संख्या सुद्धा अनंत आहेत. कारण पूर्णांक अनंत असल्याने एक पूर्णांक भागिले दुसरा पूर्णांक ह्या व्याख्येनुसार आपण परिमेय संख्या लिहीत गेलो तर त्यालाही अंत नाही. आता हे अनंत आणि पूर्णांकांचे अनंत सारखेच आहे का? आपण सहज विचार केला तर दिसेल की २ आणि ३ ह्या पाठोपाठच्या पूर्णांकांच्या मध्ये ११/४, ८/३, ५/२... अशा किती तरी परिमेय संख्या लिहू शकतो. मग ह्यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो का की परिमेय संख्यांचे अनंत हे पूर्णांकांच्या अनंतापेक्षा मोठे आहे? त्यासाठी आपण परिमेय संख्यांचा संच आणि पूर्णांकांचा संच ह्यात एकास एक असा नातेसंबंध प्रस्थापित करता येतो का ते पाहू. त्यासाठी सारणी-३ पाहा.

सारणीतील सर्वात वरच्या रांगेत ओळीने पूर्णांक लिहिलेले आहेत आणि सर्वात डावीकडील रकान्यातही ओळीने पूर्णांक लिहिले आहेत. प्रत्येक रांग आणि रकाना यांच्या छेदनाने जी चौकट बनते त्यात त्या त्या दोन पूर्णांकांनी बनलेली परिमेय संख्या निळ्या रंगात लिहिली आहे. चौकटीचा क्रमांक लाल रंगात लिहिला आहे. लाल रंगातील अंकांचा संच हा पूर्णांकांचा संच आहे आणि निळ्या रंगातील संख्यांचा संच हा परिमेय संख्यांचा संच आहे. म्हणजेच आपण प्रत्येक परिमेय संख्येशी एक एक पूर्णांक जोडू शकलो आहे. यावरून असे दिसून येते की परिमेय संख्यांचे अनंतही पूर्णांकांच्या अनंताच्या तोडीचेच आहे.

परिमेय संख्यांबद्दल आणखी थोडे पाहू. खाली काही परिमेय संख्या दशांश पद्धतीने लिहिल्या आहेत.

१/२ = ०.५
१/३ = ०.३३३३......
११/९ = १.२२२२......
२६/७ = ३.७१४२८५७१४२८५.....
१३/६ = २.१६६६६६..........
२४/५ = ४.८
१७/८ = २.१२५

परिमेय संख्यांचा हा गुणधर्म आहे की एकतर १/२, २४/५ १७/८ यांच्यासारखे त्यातील दशांश चिन्हानंतरचे अंक हे केव्हातरी संपतात किंवा १/३, ११/९, २६/७ यांच्यासारखे दशांशचिन्हानंतरचे काही अंक ठराविक क्रमाने पुनरावृत्त होत जातात. पण हा गुणधर्म नसलेल्याही संख्या असणारच. अशा संख्यांना, म्हणजे ज्या एक पूर्णांक भागिले दुसरा पूर्णांक अशा रीतीने लिहिता येत नाहीत त्यांना अपरिमेय (irrational) संख्या म्हणतात. (एक पाय नाचव रेह्या लेखात पाय ही संख्या अपरिमेय आहे हे सांगितले आहेच.)

काही अपरिमेय संख्या:

पाय = ३.१४१५९२६...........
२ चे वर्गमूळ = १.४१४२१३५६२३७३............
५ चे वर्गमूळ = २.२५६०६७९७७४९९......

थोडक्यात म्हणजे अपरिमेय संख्यांमध्ये दशांशचिन्हानंतरच्या अंकांची आगगाडी कधी संपतही नाही आणि अंकांची ठराविक क्रमाने पुनरावृत्तीही होत नाही. जर ती आगगाडी किंवा ते अंक संपले तर ती संख्या परिमेय होईल. उदा.:५.२३१७४७८९३८६४ ही संख्या आपल्याला५२३१७४७८९३८६४/१०००००००००००० अशी म्हणजे एक पूर्णांक भागिले दुसरा पूर्णांक अशी लिहिता येईल.

परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्या यांना एकत्रितपणे वास्तव संख्या (real numbers) म्हणतात. वास्तव संख्यांचे अनंत केवढे आहे? पूर्णांकांच्या एवढेच? की त्याहून मोठे? त्यासाठी पूर्णांकांच्या संचाशी एकास एक नातेसंबंध जोडता येतो का ते बघावे लागेल. असे समजूया की कोणी असा प्रयत्न केला आहे -जसा परिमेय संख्यांच्या बाबतीत आपण केला आहे. त्याने एक सारणी तयार करून एका रकान्यात पूर्णांक आणि दुसऱ्या रकान्यात वास्तव संख्या लिहिल्या आहेत. तरी त्या सारणीत सर्व अपरिमेय संख्यांचा समावेश होतो असे त्याला छातीठोकपणे सांगता येईल का? नाही येणार. कारण अपरिमेय संख्यांमधील दशांशचिन्हानंतरच्या अंकांची न संपणारी आगगाडी! त्यामुळे आपण त्या व्यक्तीला सांगू शकतो की "अमुक एक संख्या तुझ्या सारणीत नाही." त्याने "ती संख्या इथे आहे" असे सारणीतील एखाद्या चौकटीवर बोट ठेवून दाखवले तर आपण म्हणू शकतो की त्यातील १०५वा किंवा २३७वा अंक मला जी संख्या म्हणायची आहे त्या संख्येतील अंकापेक्षा वेगळा आहे!!

यावरून असा निष्कर्ष निघतो की वास्तव संख्यांचे अनंत हे पूर्णांकांच्या अनंतापेक्षा मोठे आहे, त्याहून वरच्या तोडीचे आहे. म्हणजे अनंतांमध्ये सुद्धा लहानमोठे आहे!

आपल्याला शाळेत हेही शिकवलेले आहे की कोणत्याही शून्येतर संख्येला शून्याने भागले तर त्याचे उत्तर अनंत. हे 'उत्तर' आहे असे आपल्याला जरी सांगितलेले असले तरी हे गणिताने आलेले उत्तर नव्हे तर ह्याला अनंत म्हणावे असे ठरवलेले आहे. अनंत ∞ ह्या चिन्हाने दर्शवतात. अनंत ही संख्या नसून संकल्पना आहे असे मी आधीच म्हटले आहे. गणितात जेव्हा जेव्हा शून्याचा संबंध येतो तेव्हा ती परिस्थिती हाताळण्यासाठी कधी कधी नवीन व्याख्या, संकल्पना ठरवाव्या लागतात. जसे ०! (फॅक्टोरियल) म्हणजे १, क्ष‍^०  म्हणजे १ हे ठरवले आहे. अर्थात हे ठरवताना गणितज्ञ ह्या गोष्टीची खबरदारी घेतात की ही नवी व्याख्या आधी सिद्ध केलेल्या गोष्टींना बाधा तर आणत नाही ना! (तसे केले नाही तर सर्व गणितशास्त्रच कोलमडून पडेल!) जर ही नवी व्याख्या पटण्यासारखी (convincing) असेल तर फारच चांगले. त्या दृष्टीने जर आपण अनंताच्या संकल्पनेच्या ह्या व्याख्येकडे पाहिले तर ती पटण्यासारखीच आहे. आपण भागाकार करतो तेव्हा भाज्यातून( dividend) भाजक(divisor) कितीवेळा वजा करता येतो ते पाहतो. त्यानुसार कोणत्याही संख्येतून शून्य वजा करण्याच्या प्रक्रियेचा अंतच होणार नाही. तेव्हा ह्या भागाकाराला अनंत म्हणणे हे अगदी योग्यच आहे.

तर अशी ही अनंताची कहाणी. ती वाचकांना आवडली तर सफळ, पण संपूर्ण मात्र नाही कारण अनंताविषयी अजूनही काही लिहिण्यासारखे आहे!

------------
टीप : ह्या लेखात मी infinity(नाम) आणि infinite(विशेषण) ह्या दोन्हीसाठी अनंत हाच शब्द वापरला आहे. संदर्भानुसार अर्थ कळण्यात अडचण येणार नाही असे वाटते.