डिसेंबर १३ २००६

अनंताचे लीलामृत

अनंताचे लीलामृत

अनंताची कहाणीमध्ये आपण पाहिले की वास्तव संख्यांचे अनंत हे पूर्णांकांच्या, परिमेय संख्यांच्या अनंतापेक्षा मोठे असते. वास्तव संख्या आणि पूर्णांक यांच्यात नुसता लहान मोठे एवढाच फरक नाही तर त्याला आणखीही एक पैलू आहे. परिमेय संख्यांचे अनंत हे गणनीय ( countable) आहे तर वास्तव संख्यांचे अनंत हे अगणनीय आहे. ज्या संचातील सदस्यांची नैसर्गिक अंकांशी (नैसर्गिक अंक म्हणजे अधिक चिन्हांकित पूर्णांक) एकास एक संगती लावता येत नाही तो संच अगणनीय. ह्या लेखात अनंताबद्दल आणखी काही माहिती करून घेऊ तसेच वास्तव संख्या व नैसर्गिक अंक ह्यांच्यात एकास एक संगती का लावता येत नाही ते जरा विस्ताराने पाहू.

१९ व्या शतकाच्या उत्तरार्धातील जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कँटर हा अनंताच्या गणिताचा जनक समजला जातो. संच उपपत्ती (set theory) हेही कँटरच्याच मेंदूचे अपत्य. संचांच्या आकारमानाची तुलना करण्यासाठी एकास एक संगतीची पद्धत वापरणे ही कल्पना पण त्याचीच. वास्तव संख्या अगणनीय आहेत हे सिद्ध करण्यासाठी त्याने वापरलेली पद्धत कर्ण पद्धती (diagonal method) ह्या नावाने ओळखली जाते. (ह्या पद्धतीची सिद्धता शक्य तितक्या सोप्या भाषेत सांगण्याचा प्रयत्न परिशिष्टात केलेला आहे.)

कर्ण पद्धतीचा वापर करून कँटरने असे सिद्ध केले की ० ते १ ह्यांच्या मध्ये ज्या वास्तव संख्या आहेत त्यांची नैसर्गिक अंकांशी एकास एक संगती लावता येणार नाही. म्हणजे ते अनंतही वास्तव संख्यांच्या अनंताएवढेच आहे. अनंत  (infinite) संचांबद्दल बोलताना संच आणि उपसंच यांचे आकारमान सारखे असणे ह्याचे आपल्याला आता आश्चर्य वाटत नाही. पण ही गोष्ट युक्लिडच्या  The whole cannot be the same size as the part. ह्याला धक्का देणारी होती. कँटरच्या समकालीन गणितज्ञांना हे पचनी पाडून घ्यायला जरा वेळच लागला!

वरील गोष्टीचे भौमितीय रूप म्हणजे आपण कख ही एक इंच लांबीची रेषा काढली तर क पासून ख पर्यंतचे सर्व बिंदू हे वास्तव संख्यांच्या इतकेच आहेत. एवढेच नव्हे तर २ इंच लांबीच्या, २ फूट लांबीच्या रेषेमध्येही तेवढेच बिंदू आहेत हेही आपण सिद्ध करू शकतो. आकृती-१ पाहा. कख आणि कग ह्या लहानमोठ्या लांबीच्या रेषा आहेत. कग वरील प्रत्येक बिंदूपासून खगला समांतर रेषा काढून आपण त्यांच्यात आणि कख वरील बिंदूंमध्ये एकास एक संगती प्रस्थापित करू शकलो आहे. (पण याचा अर्थ असा अजिबात नाही ह्या दोन्ही रेषांची लांबी सारखीच आहे.)

निरनिराळ्या लांबीच्या रेषांवरील बिंदूंचे अनंत सारखेच असते असे आपण वर पाहिले. आता त्यापुढे जाऊन आपण प्रतलात किती बिंदू आहेत ते पाहू. त्यासाठी आकृती-२ पाहा. क्ष अक्षावरील क हा बिंदू ०.७२४५९०२८७१... ह्या संख्येने दर्शवला आहे. त्या संख्येतील एक आड एक अंक घेऊन ज्या दोन संख्या तयार होतील त्या अशा : ०.७४९२७...व ०.२५०८१.... ख हा बिंदू ह्या जोडीने दर्शवला आहे. अशा रीतीने आपण ह्या रेषेवरील प्रत्येक बिंदूतून अशी जोडगोळी तयार करून त्याचे प्रतलातील बिंदूशी नाते जोडू शकू! इतकेच नव्हे तर आपल्याला उलटही करता येईल. प्रतलातील बिंदूंचे निर्देशांक एकत्र करून त्याचे नाते क्ष अक्षावरील एकेका बिंदूशी जोडता येईल. अशा रीतीने त्यांच्यात एकास एक संगती प्रस्थापित करता येईल. आणि एकदा ही संगती प्रस्थापित झाली की रेषेवरील बिंदूंचे अनंत आणि प्रतलातील बिंदूंचे अनंत सारखेच हे उघड आहे!

ह्या अनंतापेक्षाही मोठे अनंत आहे काय? त्यासाठी आपल्याला कँटरमहोदयांकडेच धाव घ्यावी लागेल. पण त्याआधी काही नवीन संज्ञा माहिती करून घेऊया. कँटरने आपल्या संच उपपत्तीमध्ये संचाचे आकारमान, म्हणजेच त्यातील सदस्यांची संख्या, ह्याला एक विशिष्ट नाव दिले. ते म्हणजे कार्डिनॅलिटी (cardinality). आपण त्याला मराठीत गणसंख्या म्हणूया. आठवड्यातील दिवसांच्या संचाला आपण सप्ताह असे नाव दिले तर सप्ताहाची गणसंख्या ७ होईल. आमच्या छोट्याश्या कार्यालयातील कर्मचाऱ्यांचा संच घेतला तर त्याची गणसंख्या १०२ आहे. पण पूर्णांक, परिमेय संख्या, वास्तव संख्या यांच्या संचांची गणसंख्या अशी आकड्यात सांगता येणार नाही कारण ती अनंत आहे. कँटरने ह्या अनंतांना नावे दिली. त्यासाठी त्याने हिब्रू भाषेतील पहिले अक्षर א हे वापरले. पूर्णांक, परिमेय संख्या यांचे अनंत א(उच्चारी अलेफ् नल), वास्तव संख्यांचे अनंत א असे ठरवले.

कँटरने संचाच्या बाबतील आणखी एक नवीन संकल्पना मांडली. ती म्हणजे अधिसंच ( power set). अधिसंच म्हणजे कोणत्याही संचाच्या सर्व उपसंचांचा संच.  ह्यात रिक्त संच (empty set) व ज्याच्या अधिसंचाबद्दल बोलत आहोत तो संच ह्यांचाही समावेश असतो. आता स ह्या संचात ३ सदस्य असतील तर १ रिक्त संच, प्रत्येकी १ सदस्य असलेले ३ संच, प्रत्येकी २ सदस्य असलेले ३ संच व स्वतः संच स असे त्याचे एकूण ८ उपसंच होतील. याचा अर्थ स ची गणसंख्या ३ असेल तर त्याच्या अधिसंचाची गणसंख्या ८. चाणाक्ष वाचक थोडे 'परीक्षण/ निरीक्षण' करून म सदस्य असलेल्या संचाच्या अधिसंचाची गणसंख्या किती असेल याचे सूत्र निश्चितच काढू शकतील! 

आपण वर पाहिलेच आहे एखाद्या प्रतलातील सर्व बिंदूच्या संचाचे अनंत हे वास्तव संख्यांच्या अनंताइतकेच म्हणजे א आहे. आता ह्या प्रतलात काढता येणारी प्रत्येक आकृती, प्रत्येक वक्र हा प्रतलातील काही बिंदूंचा समूह आहे. म्हणजेच तो प्रतलातील बिंदूंच्या संचांचा उपसंच आहे. यावरून असे म्हणता येईल की प्रतलात काढलेल्या सर्व आकृत्या, सर्व वक्र हे एकत्रित केले तर तो प्रतलातील बिंदूंच्या संचाचा अधिसंच होईल. ह्या संचाची गणसंख्या किती? ती א पेक्षा नक्कीच मोठी असणार! इतकेच नव्हे तर त्यापेक्षा खूप मोठी असणार. कारण आपण संचाची गणसंख्या केवळ एकेकाने वाढवत गेलो तरी त्याच्या अधिसंचाची गणसंख्या प्रचंड वेगाने वाढत जाते. त्यामुळे ह्या दोहोंमध्ये एकास एक संगती प्रस्थापित करणे केवळ अशक्य.  कँटरने ह्या अनंताला א असे नाव दिले. अजूनपर्यंत तरी א अस्तित्वात आलेले नाही. पण न जाणो कालांतराने येईल सुद्धा!

हे सर्व पाहिले की वाटते, आपल्या डोक्यातील प्रस्थापित कल्पनांना आपल्या लीलांच्या द्वारे असे लहानमोठे धक्के देणाऱ्या अनंताची लीला अगाध आहे!     
---------------------------------
परिशिष्ट:

कँटरच्या कर्णपद्धतीची ही सिद्धता 'क्रमविरुद्ध सिद्धता' ( reductio ad absurdum)  ह्या पद्धतीची आहे.

आपण असे गृहीत धरू की नैसर्गिक अंक आणि अंकांच्या अनंत मालिका (infinite sequences of digits)  ह्याच्यांमध्ये एकास एक संगती प्रस्थापित करता येते.

त्यानुसार आपण पुढील सारणी लिहू शकू.

मालिका१ क१ क२ क३ क४ क५ क६ क७ क८ क९ क१० ... ...
मालिका२ ख१ ख२ ख३ ख४ ख५ ख६ ख७ ख८ ख९ ख१० ... ...
मालिका३ ग१ ग२ ग३ ग४ ग५ ग६ ग७ ग८ ग९ ग१० ... ...
मालिका४ घ१ घ२ घ३ घ४ घ५ घ६ घ७ घ८ घ९ घ१० ... ...
मालिका५ च१ च२ च३ च४ च५ च६ च७ च८ च९ च१० ... ...
मालिका६ छ१ छ२ छ३ छ४ छ५ छ६ छ७ छ८ छ९ छ१० ... ...
मालिका७ ज१ ज२ ज३ ज४ ज५ ज६ ज७ ज८ ज९ ज१० ... ...
मालिका८ झ१ झ२ झ३ झ४ झ५ झ६ झ७ झ८ झ९ झ१० ... ...
मालिका९ त१ त२ त३ त४ त५ त६ त७ त८ त९ त१० ... ...
मालिका१० थ१ थ२ थ३ थ४ थ५ थ६ थ७ थ८ थ९ थ१० ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

आपल्या गृहीतकानुसार ह्या सारणीत सर्व अनंत मालिकांचा समावेश होतो.

आता आपण
प=प१०.......
अशी एक अनंत मालिका तयार करू की ज्यात

हा क  पेक्षा वेगळा असेल.
हा ख  पेक्षा वेगळा असेल.
हा ग  पेक्षा वेगळा असेल.
हा घ  पेक्षा वेगळा असेल.
...............................................
................................................  

आपली सारणी सर्वसमावेशक असल्याने प मालिका त्यात कुठे तरी असलीच पाहिजे.

परंतु आपण प ही मालिका ज्या प्रकारे तयार केली आहे त्यानुसार वरच्या सारणीतील प्रत्येक मालिका आणि प यांच्यामध्ये एक अंक तरी वेगळा आहे. म्हणजे प ही मालिका वरील सारणीत नाही. याचाच अर्थ आपले गृहीतक चूक आहे.

तेव्हा नैसर्गिक अंक आणि अंकांच्या अनंत मालिका (infinite sequences of digits)  ह्यांच्यामध्ये एकास एक संगती प्रस्थापित करता येणार नाही.

====================================

Post to Feed



प्रतिसाद/ उपप्रतिसाद
छान
माहिती
रेषा/लांबी
धन्यवाद
परिशिष्ट
परिशिष्ट
स्तुत्य
पूर्णस्य पूर्णमादाय
सुरेख
आता गट-सिद्धांत येऊ द्या
सुंदर!
वावा!
परिशिष्ट
वा!
परिशिष्ट - शंका
छान
परिशिष्ट-अधिक स्पष्टीकरण

Typing help hide