मि. टॉमकिन्स सुट्टी घेतात ---  २
              समुद्र किनाऱ्यावरील आपल्या होटेलमध्ये दुसऱ्या दिवशी सकाळी  तेथील काचेने बंदिस्त केलेल्या व्हरांड्यात नाश्ता घेण्यासाठी उतरल्यावर एक आश्चर्य त्यांची वाट पहात होते.समोरच्याच कोपऱ्यातील टेबलावर प्राध्यापक महाशय एका आकर्षक तरुणीबरोबर बसले होते व ती मि.टॉमकिन्स बसलेल्या टेबलाकडे पहात त्यांच्याशी काहीतरी हितगुज करत होती.
" त्या गाडीत झोपण्याचा मूर्खपणाच झाला माझ्याकडून " टॉमकिन्सना वाटले व स्वत:वरच ते खूप चिडले."आणखी प्रोफेसरांना अजूनही मी गाडीतील लोक तरुण होण्याविषयी विचारलेल्या मूर्खासारख्या प्रश्नाची आठवण होत असावी. पण एका दृष्टीने हे बरेच झाले त्यांच्याशी परिचय वाढवण्याची व मला न समजलेल्या गोष्टी जाणून घेण्याची ही संधीच उपलब्ध झाली." पण आपण केवळ त्यांच्याबरोबर झालेल्या संभाषणाचाच विचार करत नव्हतो हे त्याना माहीत असले तरी तसे मान्य करण्याची मात्र त्यांची इच्छा नव्हती.
" अरेवा तुम्ही माझ्या भाषणासा आलेले मला चांगले आठवते " ते दोघे (प्रोफेसर व तरुणी) भोजनगृह सोडत असताना प्राध्यापक म्हणाले,"ही माझी मुलगी मॉड.ती पेंटिंगचा अभ्यास करतेय."
" आपल्याला पाहून खरच खूप आनंद झाला मिस मॉड " टॉमकिन्स म्हणाले आणि आतापर्यंत ऐकलेल्या नावात हे सर्वात सुंदर नाव आहे असे त्याना वाटून गेले." तुमच्या रेखाटनासाठी येथील वातावरण तुम्हाला खूपच पोषक वाटत असेल अशी अपेक्षा आहे."
" ती केव्हांतरी तिची रेखाटने  तुम्हाला दाखवेलच "प्राध्यापक म्हणाले,"पण माझे व्याख्यान ऐकून तुमच्या समजुतीत काही भर पडली का?"  
" हो तर,खूपच इतकेच काय पण प्रकाशाचा वेग ताशी फक्त दहा मैल असणाऱ्या  त्या विचित्र शहरात पदार्थांचे सापेक्ष आकुंचन आणि घड्याळांचे अनाकलनीय मागेपुढे जाणे याचा अनुभवही आला मला"
" अरेरे, " चुकचुकत प्राध्यापक म्हणाले,"यावरून तुम्ही माझे अवकाशाची वक्रता व त्यांचा न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण बलाशी संबंध याविषयीचे माझे व्याख्यान चुकवलेले दिसते,काही हरकत नाही आता इथे चौपाटीवर आपल्याला वेळच वेळ आहे त्यामुळे सगळे काही तुम्हाला मी समजावून देईन.उदा अवकाशाची बहिर्वक्रता व आंतरवक्रता यातील फरक तुम्हाला माहीत आहे का?"
"डॅडी," आपला चेहरा वाकडा करत मिस मॉड म्हणाली,"तुम्ही परत विज्ञानावरच बोलणार असाल तर ही मी निघते कशी, माझ काहीतरी काम तरी करेन येवढ्या वेळात "
" काही हरकत नाही  पोरी ,पळ तू," आरामखुर्चीवर ऐसपैस बैठक मारत प्राध्यापक म्हणाले  आणि मि.टॉमकिन्सकडे पहात त्यांनी विचारले,"मला वाटते,तू गणिताचा फारसा अभ्यास केलेला नाही पण  मी पृष्ठभागाविषयी तुला साध्या भाषेत समजावू शकेन असे वाटते.मि. शेलचे उदाहरण घेऊ.अनेक ठिकाणी त्यांचे पेट्रोल पंप आहेत.आता समज अमेरिकेसारख्या देशात हे पेट्रोलपंप सर्वत्र समप्रमाणात वाटले गेले आहेत का हे त्याला पहायचे आहे.त्यासाठी देशाच्या मध्यबिंदूपाशी असलेल्या कन्सास शहरापासून १००.२०० किंवा ३०० मैलाच्या परिसरात असलेल्या पंपांची संख्या किती आहे याची मोजणी करायला सांगितले.त्याला वर्तुळाचे क्षेत्रफळ त्रिज्येच्या वर्गाच्या प्रमाणात बदलते हे शाळेत शिकलेले आठवत असल्यामुळे समप्रमाणात पंपांचे वाटप असेल तर अशा पद्धतीने पंपांची संख्या १,४,९,१६ या प्रमाणात वाढायला हवी.पण मोजणीचा अहवाल समोर आल्यावर प्रत्यक्षात मात्र ती वाढ १,३.८ ,८.५ ,१५ इतकी कमी आढळल्यावर " हा काय फालतूपणा ? माझ्या व्यवस्थापकांना आपले काम करण्याचे मुळीच ज्ञान नाही नाहीतर कन्सास शहराभोवतीच पंपांचे इतके अधिक एकत्रिकरण कसे काय झाले असते?" असे त्याला वाटल्यास त्याचे हे निरीक्षण बरोबर आहे का?"

" बरोबर आहे का?" दुसऱ्याच कसल्यातरी विचारात गुंगलेल्या टॉमकिन्स यांनी त्याच्याच प्रश्नाचा पुनरुच्चार केला.  
" नाही " प्राध्यापक म्हणाले,"पृथ्वीचा पृष्ठभाग सपाट नसून अर्धगोलाकार आहे आणि अर्धगोलाकारात दिलेल्या त्रिज्येखालील क्षेत्रफळ सपाट पृष्ठभागाच्या तुलनेत कमी प्रमाणात वाढते.लक्षात येतेय ना तुझ्या? समजा तुम्ही उत्तर धृवावर आहात विषुववृत्तीय त्रिज्येच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ कर्कवृत्तीय त्रिज्येच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असते. याउलट त्रिज्या दुप्पट केल्यावर सपाट पृष्ठावर मात्र क्षेत्रफळ चौपट झाले असते.समजले ना?"
"होय " अधिक लक्षपूर्वक ऐलण्याचा प्रयत्न करत मि.टॉमकिन्स म्हणाले."आणि याला बहिर्वक्रता म्हणायची की आंतरवक्रता ?"
" याला बाह्य वक्रता म्हणतात व पृथ्वीच्या गोलाचे उदाहरण घेतले त्याप्रमाणे निश्चित क्षेत्रफळाचा तो ठराविक पृष्ठभाग असतो.ऋण (negative) वक्रतेचे उदाहरण म्हणजे खिंड"
"काय खिंड ?"
" म्हणजे दोन पर्वतांच्या मध्ये जी वाट असते तसा आकार यामध्ये त्रिज्येच्या वर्गापेक्षाही अधिक पटीने क्षेत्रफळ वाढते.अशी ही अंतर्वक्रता असते.अंतर्वक्र पृष्ठभाग सपाट पृष्ठभागावर पसरण्याचा प्रयत्न केला तर त्याला घड्या पडतात तर बहिर्वक्र पृष्ठभाग सपाट पृष्ठभागावर पसरण्याचा प्रयत्न केला तर रबरासारखा लवचिक नसेल  तो फाडावा लागेल    
"अच्छा "मि.टॉमकिन्स म्हणाले,"आणि तुम्हाला असं म्हणायचय की असा खिंडीसारखा  पृष्ठभाग वक्र असला तरी  अमर्याद असतो."
" अगदी बरोबर" प्राध्यापकांनी त्यास दुजोरा दिला."असा पृष्ठभाग सर्व दिशांनी अमर्याद वाढतच जातो व कधीच बंद होत नाही. अर्थात मी दिलेल्या उदाहरणातील पृष्ठभागाची अंतर्वक्रता आपण पर्वतमाथ्यावर आलो की नष्ट होते व पुन्हा पृथ्वीच्या बहिर्वक्र पृष्ठभागावर आपण येतो.मात्र सर्व बाजूनी वक्रता असणाऱ्या अशा पृष्ठभागाची कल्पना आपण करू शकतो."

" पण ही कल्पना वक्र त्रिमिती अवकाशास कशी लागू करता येते?"
" अगदी आपण (पेट्रोल पंपाप्रमाणे) सारख्या अंतरांवरील वस्तूंची कल्पना केली त्याचप्रमाणे.म्हणजे आपल्यापासून विशिष्ट अंतरातील वस्तूंची संख्या आपण मोजली आणि ती अंतराच्या वर्गाच्या प्रमाणात वाढली तर पृष्ठभाग सपाट,त्यापेक्षा कमी वा अधिक प्रमाणात वाढली तर त्यानुसार तो बहिर्वक्र वा अंतरवक्र पृष्ठभाग.