कलन, विकलन, समाकलन

कॅल्क्युलस (मराठीत कलन) ह्या शब्दाचा शब्दकोशातील एक अर्थ pebble म्हणजे छोटा गोल गुळगुळीत दगड किंवा गारगोटी असा आहे. दुसरा अर्थ गणिताची एक शाखा असा आहे. ह्या दोन अर्थांमध्ये जमीन अस्मानाचं अंतर आहे. पहिला अर्थ गारगोटी असला तरी दुसरा अर्थ विचारात घेतला तर कलन हा गणिताच्या सर्व शाखांमधला मेरुमणी आहे असेच म्हणावेसे वाटते. कारण ह्या शाखेचा उपयोग कुठे होत नाही? पदार्थविज्ञान, सांख्यिकी, अभियांत्रिकी यांचे तर कलनाशिवाय पानही हलत नाही! विज्ञानाच्या इतर शाखांसाठी ते आवश्यक नसले तरी उपयुक्त निश्चित आहे.

बीजगणित, भूमिती व अक्षीय भूमिती (Coordinate Geometry) यात परिसीमा (limit) व फलन(function) या संकल्पनांची भर घालून कलनाची उभारणी केलेली आहे. मुख्यत्वे दोन गोष्टी कलनाने करता येतात. त्या म्हणजे कोणत्याही बदलाचा दर काढणे (विकलन) आणि अनेक संख्यांची बेरीज करून एकत्रीकरण करणे (समाकलन). आता हे आधीच्या गणितातही करता येतच होते की! मग कलन कशासाठी? तर कलनाने अतिलघु (infinitesimal) अशा संख्या हाताळता येतात ज्या आधीच्या गणितात हाताळता येत नव्हत्या.

अशा ह्या कलनाचा उगम कसा झाला याबद्दल बऱ्याच जणांना उत्सुकता असते. कलनाच्या शोधाचे श्रेय सर्वसाधारणपणे न्यूटन आणि लिबनिझ(Leibniz) ह्यांना दिले जाते आणि ते योग्यही आहे. हे दोघेही १७व्या शतकातले शास्त्रज्ञ/गणितज्ञ. पण त्याआधीच्या गणितज्ञांचे त्यात मोठेच योगदान आहे. अशा अनेकांच्या योगदानाने कलन हळूहळू विकसित होत गेले.

पूर्वीच्या काळी- अगदी इसवीसनापूर्वीच्या दिवसात- भूखंडाचे क्षेत्रफळ काढताना त्या भूखंडात एक फूट (किंवा एक एकक) लांबी असलेले किती चौरस मावतील हे पहात असत. त्यावरूनच आयताचे/त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे काढावे हेही माहीत झाले होते. त्यामुळे भूखंडांच्या सीमा सरळ रेषा होत्या तोपर्यंत सर्व सुरळीत चालले होते. पण प्रत्यक्षात त्या कधी कधी वक्र रेषा पण होत असत. तेव्हा क्षेत्रफळ कसे काढायचे हा मोठा प्रश्न निर्माण झाला. ह्या आणि अशा प्रकारच्या अडचणी निर्माण झाल्यामुळे वक्ररेषांनी सीमित असलेल्या आकृत्यांचे क्षेत्रफळ कसे काढायचे यावर लोक विचार करायला लागले. आर्किमिडीजने परवलयाचे(parabola) क्षेत्रफळ काढण्याचा प्रयत्न केला. (आकृती १ पहा.) परवलयाच्या ज्या भागाचे क्षेत्रफळ काढायचे होते त्या भागात एक जास्तीत जास्त मोठा त्रिकोण काढला. मग त्रिकोण आणि परवलय यांच्या मधील रिकाम्या जागेत पुन्हा एक त्रिकोण काढला. ही प्रक्रिया त्याने बऱ्याच (अनंत?) त्रिकोणांपर्यंत चालू ठेवली व त्या सर्वांची बेरीज केली. त्यावरून हे क्षेत्रफळ आतील त्रिकोणाच्या ४/३ असते हे त्याने सांगितले.  आपण 'पाय' वरील लेखात पाहिलेच आहे की आर्किमिडीजने वर्तुळ, त्याचा आत एक बहुभुजाकृती व त्याच्या बाहेर एक बहुभुजाकृती हे काढले होते. बहुभुजाकृतींच्या बाजू वाढवल्या असता तिन्ही क्षेत्रफळे एकमेकांच्या खूप जवळ जातील हे त्याच्या लक्षात आलेले होते. म्हणजे समाकलनाची (integration)संकल्पना अगदी 'बीज' स्वरुपात का होईना पण त्याला सुचली होती. पण त्याचा वृक्ष होण्यास मात्र बरीच वर्षे जावी लागली.

समाकलनाची संकल्पना आणखीही काही लोकांना सुचली होती. केप्लर (ग्रहांच्या भ्रमणाविषयीचे सिद्धांत मांडणारा) ह्याच्याबद्दलची हकीकत मोठी मजेशीर आहे. तो एकदा मद्य खरेदी करण्यासाठी गेला होता. तिथे त्याने पाहिले की पिपात किती मद्य मावते हे पहाण्यासाठी मद्यविक्रेता एक मोजपट्टी पिपाच्या कडेला असलेल्या तोंडातून (भोकातून) आत घालून पिपाचा व्यास मोजत होता व त्यावरून पिपाचे घनफळ काढत होता. पण हे करताना ते पिप खालच्या बाजूला लहान आहे हे तो लक्षातच घेत नव्हता. ते पाहून केप्लरच्या डोक्यात चक्रं फिरू लागली. विविध उंच्यांवर वेगवेगळे आकार असलेल्या त्रिमित वस्तूचे घनफळ कसे काढावे? त्याने कल्पनेत ते पिप छोट्या छोट्या दंडगोलांमध्ये विभाजित केले आणि प्रत्येकाचे घनफळ काढून त्या सर्वांची बेरीज केली. म्हणजे समाकलनाचे मर्मच त्याला उमगले होते! एखादा वक्र क्ष किंवा य अक्षाभोवती फिरवल्यामुळे जी त्रिमित वस्तू (soild of rotation)  तयार होते तिचे घनफळ काढण्याचा पद्धतीचा उगम इथे आहे.

भारतीय गणिती भास्कराचार्य (१२ वे शतक) याच्या लीलावती व सिद्धांतशिरोमणी या ग्रंथांमध्ये त्याने विकलन, समाकलन यांचा अभ्यास केला होता असे संदर्भ सापडतात. १४व्या शतकातील गणिती माधव यानेही विकलन/ समाकलन यात काम केले होते असे म्हणतात पण ही माहिती बाहेरच्या जगात पोहोचली नव्हती.

सुरुवातीला मी म्हटले आहे की विकलन (differentiation) बदलाचा दर काढते. त्याबद्दल जरा विस्ताराने पाहू. आपण जेव्हा प्रवास करत असतो तेव्हा सर्वसाधारणपणे सरासरी वेगाबद्दल बोलत असतो. पण निरनिराळ्या कालखंडातील वेग सरासरी वेगापेक्षा भिन्न असू शकतो. मग आपल्याला एखाद्या विशिष्ट कालखंडात, किंवा त्याच्याही पुढे जाऊन म्हटले तर एखाद्या विशिष्ट क्षणाला(instantaneous) वेग काय होता हे माहीत करून घ्यायचे असेल तर काय करायचे? नेहमीप्रमाणे 'चाललेले अंतर/कालखंड' हे करता येणार नाही कारण एका विशिष्ट क्षणाचा वेग काढायचा म्हणजे कालखंड तर शून्यच आहे आणि शून्यकाळात चाललेले अंतरही शून्य असणार. पण त्या क्षणाला काही तरी वेग असणार हे निश्चित. मग ह्या गुणोत्तराची किंमत कशी काढायची?  यातूनच कालखंड शून्य नाही पण अतिसूक्ष्म धरून ह्या राशीची परिसीमा काढणे आणि त्याला derivative म्हणणे हे आले. (अर्थात हे नेमके कोणाला सुचले याविषयीची माहिती मिळाली नाही.)

विकलनाकडे भौमितिक दृष्टिकोनातूनही बघता येते. अक्षीय भूमिती कलनाच्या आधीची आहे. क्ष आणि य यातील  संबंध दर्शवणाऱ्या एखाद्या समीकरणाचा वक्र (curve)काढणे हे कलन अस्तित्वात येण्याआधीही लोकांना माहिती होते. अशा वक्राला काढलेली स्पर्शरेषा ही त्या वक्राच्या जीवेची परिसीमा आहे असे न्यूटनचे शिक्षक बॅरो (Barrow) यांनी बराच अभ्यास करून प्रतिपादन केले. (आकृती २ पहा.) कग ही दिलेल्या वक्राची एक जीवा(chord) आहे. अक्षीय भूमितीनुसार तिचा चढ (slope) खग/कख आहे. आता ही जीवा क बिंदू स्थिर धरून डाव्या बाजूला फिरवत गेलो तर ग आणि ख हे दोन्ही बिंदू कच्या जवळजवळ येऊ लागतील व एक क्षणाला कग ही जीवा त्या वक्राची कत ही स्पर्शरेषा होईल. त्यावेळी तिचा चढ किती असेल? खग/कख मधील अंश आणि छेद दोन्ही आता जवळजवळ शून्य आहेत. इथेही त्या राशीची परिसीमा काढावी लागेल. हीच संकल्पना न्यूटनने आणखी विकसित केली आणि derivative (dy/dx)  हा वक्राच्या स्पर्शरेषेचा चढ असे प्रतिपादन केले.

Pierre de Fermat (उच्चार सांगावा) ह्या फ्रेन्च गणितज्ञाने एखाद्या राशीची कमाल (किंवा किमान) किंमत कशी काढावी याचा अभ्यास साधारण १६२९च्या सुमारास केला होता. तेव्हा derivative  जन्माला आलेला नव्हता. पुढे कलनाने हे सिद्ध केले की एखाद्या वक्राची कमाल/किमान किंमत त्याला ज्या बिंदूत प्राप्त होते तिथे त्याची स्पर्शरेषा क्ष अक्षाला समांतर असते. म्हणजे त्या ठिकाणी dy/dx  हा शून्य असतो. Fermat ची पद्धत व ही पद्धत ह्या बऱ्याच मिळत्याजुळत्या आहेत. म्हणून विकलनच्या शोधाचे श्रेय त्याला द्यावे असे म्हणणारेही काही गणितज्ञ आहेत.

अशा रीतीने न्यूटन आणि लिबनिझ यांच्या पूर्वीही परिसीमा, विकलन, समाकलन या संकल्पना, त्यासबंधीची निरीक्षणे हे सर्व होते पण ते विस्कळित स्वरुपात होते. त्यात शिस्त आणि सफाईदारपणाचा अभाव होता. न्यूटन आणि लिबनिझने स्वतंत्रपणे ते सर्व एकत्र केले, अधिक विकसित केले आणि सुसूत्रपणे मांडले. पूर्वी नसलेला काटेकोरपणा आणि सफाई त्यात आणली. न्यूटनने कलनाचा मूलभूत सिद्धांत ( Fundamental theorem of Calculus) मांडला आणि त्यामुळे समाकलन म्हणजे विकलनाच्या उलट प्रक्रिया ही एक व्याख्या आणि समाकलन म्हणजे वक्राच्या खालील भागाचे क्षेत्रफळ (आकृती पहा) ही दुसरी व्याख्या, ह्या दोन स्वतंत्र व्याख्या एकमेकींशी जोडल्या गेल्या. derivative व integral यासाठी आपण जी चिन्हे वापरतो ती लिबनिझने ठरवलेली आहेत.

न्यूटन आणि लिबनिझ समकालीन. दोघांचेही कलनातील योगदान फार मोठे आहे आणि दोघांनी ते स्वतंत्रपणे केलेले आहे. त्यावेळी मात्र दोघांपकी कोणी हे आधी मांडले यावरून खूपच ताणतणाव निर्माण झाले होते. न्यूटन ब्रिटिश तर लिबनिझ जर्मन. त्यामुळे ब्रिटिश गणितज्ञ आणि इतर युरोपीय गणितज्ञ यांच्यात काही काळ थोडी तेढ निर्माण झाली होती. पण आपल्या दृष्टीने दोघेही महान आहेत. त्याबरोबरच आधी ज्यांचा उल्लेख केला आहे त्याही गणितज्ञांचे योगदान मोलाचे आहे. सध्या आपण जे कलन वापरतो ते त्या स्वरुपात  अगदी अलीकडच्या काळात म्हणजे १९व्या शतकात आले. ते तसे आणण्याचे श्रेय कॉशी (Cauchy)या गणितज्ञाकडे जाते.

कलनाच्या इतिहासाचे हे मला झालेले आकलन मनोगतींनाही रंजक वाटावे.
-----------------

गणितज्ञांचे कालखंड

केप्लर   : १५७१-१६३०
Pierre de Fermat : १६०१-१६६५
बॅरो : १६३०-१६७७
न्यूटन : १६४२-१७२७
लिबनिझ : १६४६-१७१६
कॉशी : १७८९-१८५७