एप्रिल २३ २००५

गणितीय श्रेणी

ह्यासोबत

शाळेत पूर्णांकांच्या मालिकांशी आपला संबंध येतो. उदा.: १,३,५,७,९ .... या मलिकेतील पुढचे २ अंक सांगा. थोडं अवघड करायचं म्हटलं तर ५,१५,४५,१३५, ४०५... या मालिकेतील पुढचे अंक सांगा. १,४,९,१६,२५.... यापुढील अंक कोणता? पहिल्या मालिकेत  पाठोपाठच्या दोन पदांमध्ये ठराविक अंतर - याठिकाणी २ चे - आहे तर दुसर्‍या मालिकेत पाठोपाठच्या दोन पदांचे एक ठराविक गुणोत्तर - इथे ३ - आहे.  पहिल्या प्रकारच्या मालिकेला अंकगणितीय मालिका किंवा श्रेणी म्हणतात. दुसरी श्रेणी भौमितिक श्रेणी म्हणून ओळखली जाते. तिसर्‍या मालिकेत प्रत्येक पद हे त्या मालिकेतील त्याच्या स्थानाचा वर्ग आहे. 

१ ह्या अंकाने सुरू होणारी ही भौमितिक श्रेणी पहा.:  १, २, ४, ८, १६ .... ह्यात प्रत्येक पद हे आधीच्या पदाच्या दुप्पट आहे. सुरुवातीला १,२,४ अशा अगदी किरकोळ वाटणार्‍या संख्या आहेत त्यामुळे ह्या श्रेणीतील पन्नासावं, साठावं, सत्तरावं पद किती प्रचंड मोठं होईल याचा अंदाज आपल्याला येत नाही. निदान शिरहाम (Shirham) राजाला तरी अजिबात आला नव्हता. त्याबद्दल एक आख्यायिका आहे. हा शिरहाम आपल्या हिंदुस्थानातलाच. त्याच्या पदरी एक हुशार वजीर होता. त्यानेच बुद्धिबळाच्या खेळाचा शोध लावला. म्हणून खूश होऊन राजाने त्याला "हवे ते माग" असे सांगितले. त्यावर वजिराने "मला थोडेसे गहू द्या" असे सांगितले. किती गहू पाहिजेत विचारल्यावर तो म्हणाला "ह्या बुद्धिबळाच्या पटावरील प्रत्येक चौकोनासाठी मला गहू हवे आहेत. पहिल्या चौकोनासाठी १ दाणा, दुसर्‍यासाठी २ दाणे, तिसर्‍यासाठी ४ दाणे, चौथ्यासाठी ८ दाणे, पाचव्यासाठी १६ दाणे.... असे ६४ व्या चौकोनापर्यंत जायचे." राजाने गव्हाचं एक पोतं मागवलं. पण थोड्याच वेळात ते संपलं. पुन्हा दुसरं मागवलं. ते तर आणखीच लवकर संपलं! राजाने भांडारातले सगळे गहू आणवले तरी २५व्या चौकोनाच्या पुढे जाता आलं नाही. राजाच्या सोयीसाठी आपण एकूण किती गहू लागणार याचा अंदाज करू या. आपण १+२+४+८+१६+३२+... असे करत करत गेलो तर गव्हाच्या दाण्यांची एकूण संख्या २६४ - १ म्हणजे १८,४४६,७४४,०७३,७०९,५५१,६१५ एवढी होईल. (१ ने सुरू होणार्‍या आणि २ हे गुणोत्तर असणार्‍या भौमितिक श्रेणीतील 'न' पदांची बेरीज २ - १ इतकी असते.) म्हणजे एका किलोमध्ये साधारण दीड लाख (१५०,०००) गव्हाचे दाणे बसतात असं धरलं तर १,२००,०००,०००,००० क्विंटल पेक्षा सुद्धा थोडे जास्तच गहू लागतील! म्हणजे वजिराची मागणी त्याच्या किंवा राजाच्या हयातीत पूर्ण होणं शक्यच नाही. इतकंच नव्हे सबंध जगातल्या गव्हाची पैदास एकत्र केली तरी इतक्या गव्हासाठी काही हजार वर्ष जावी लागतील.

१,२,४,८,१६.... ही श्रेणी आपल्याला हॅनॉईच्या मनोर्‍यावर(Tower of Hannoi) देखील भेटते. हा हॅनॉईचा मनोरा आहे तरी काय? एका लोखंडी सळईला काही तरी आधार देऊन एक स्टँड (बँकांमध्ये टोकन्स अडकविण्यासाठी असतो तसा.) बनवला आहे. त्यावर मध्यभागी भोक असलेल्या लहानमोठ्या आकारमानाच्या ६४ वर्तुळाकार चकत्या अशा रीतीने अडकवल्या आहेत की त्याचा एक शंकूसारखा मनोरा तयार झाला आहे. म्हणजेच लहान चकती नेहमी मोठ्या चकतीच्या वर आहे. आपल्याला ह्या सर्व चकत्या दुसर्‍या एका तशाच स्टँडवर काढून ठेवायच्या आहेत. पण वाटतं तितकं सोपं नाही हे! कारण हे करताना काही अटी पाळायला लागणार आहेत. पहिली अट म्हणजे एकदम सबंध चळत उचलायची नाही, एका वेळेला एकच चकती उचलायची आणि दुसरी अट : चकत्या ठेवताना कधीही मोठी चकती लहान चकतीवर आलेली चालणार नाही. हे करणे शक्य व्हावे म्हणून तुम्हाला आणखी एक स्टँड दिला आहे. एक चकती उचलून दुसर्‍या स्टँडवर ठेवणं ह्याला आपण एक खेळी (move) म्हणालो तर  सर्व चकत्या दुसर्‍या स्टँडवर ठेवायला कमीत कमी किती खेळी लागतील? गंमत म्हणून ४/५ चकत्या घेऊन हे करून पहावे. २ चकत्यांसाठी ३ खेळी लागतील हे थोडा विचार केला तर कळते. ३ चकत्यांसाठी प्रथम २ चा मनोरा ३ खेळीत दुसर्‍या स्टँडवर आणावा. मग रिकाम्या स्टँडवर तिसरी चकती ठेवावी (१ खेळी) आणि पुन्हा २ चा मनोरा हलवण्याची पुनरावृत्ती (३ खेळी) करावी. म्हणजे ३ चकत्यांसाठी ३+१+३ अशा ७ (२3- १) खेळी लागतील. ४ चकत्यांसाठी ७+१+७ अशा १५ (२- १) खेळी लागतील. [ह्या पुनरावृत्तीमुळे संगणकीय भाषा शिकताना 'recursion' हा विषय आला की हॅनॉईच्या मनोर्‍याचे उदाहरण हमखास येतेच.] ६४ चकत्यांसाठी लागणार्या खेळींची संख्या २६४ -१! म्हणजे किती ते वर दिलेलं आहेच! प्रत्येक खेळीला अर्धं सेकंद लागेल असं धरलं तरी ६४ चकत्या दुसर्‍या स्टँडवर ठेवायला आयुष्य पुरणार नाही!  (आवड आणि रिकामा वेळ असणार्‍यांनी संगणकावर हा खेळ बनवून पहावा. मजा येते.)

१ हे पहिले पद आणि ३ हे गुणोत्तर असलेल्या भौमितिक श्रेणीच्या काही गमती आहेत का ते बघू. ही श्रेणी म्हणजे १,३,९,२७...... काही आठवतंय का? मनोगतावरच 'कोडी' मध्ये ही श्रेणी आलेली आहे. १ किलो, ३ किलो, ९ किलो आणि २७ किलो अशी वजनं आपल्याकडे असतील तर १किलो ते ४० किलो यामधील कोणत्याही (पूर्णांक) वजनाच्या वस्तूचं वजन आपल्याला करता येईल. ह्याचंच सामान्यीकरण करून असं  म्हणता येईल की कोणताही पूर्णांक ह्या भौमितिक श्रेणीतील काही किंवा सर्व पदांची बेरीज/वजाबाकी करून लिहिता येतो. 

१=१, २=३-१, ३=३, ४=३+१, ५=९-३-१, ६=९-३, ७=९-३+१, .......६९=८१-९-३, ७०=८१-९-३+१, ७१=८१-९-१

अशाच प्रकारचा गुणधर्म  १,२,४,८,१६.... ह्या श्रेणीतही आहे. कोणताही पूर्णांक ह्या भौमितिक श्रेणीतील काही किंवा सर्व पदांची केवळ बेरीज करून लिहिता येतो. 

१=१, २=२, ३=२+१, ४=४, ५=४+१, ६=४+२,........... ६९=६४+४+१, ७०=६४+४+२, ७१=६४+४+२+१


आता जी श्रेणी मी सांगणार आहे ती अंकगणितीय श्रेणीही नाही किंवा भौमितिक श्रेणी पण नाही. ती अशी :

१,१,२,३,५,८,१३,२१,३४,.....

अंकगणितीय किंवा भौमितिक श्रेणीत पहिले पद आणि दोन पाठोपाठच्या पदांमधील अंतर किंवा गुणोत्तर माहीत असेल तर कोणतेही पद, जसे पन्नासावे, साठावे, सत्तरावे, एका सूत्राने काढता येते. इथे तसे होत नाही. इथे प्रत्येक पद हे आधीच्या दोन पदांच्या बेरजेइतके आहे. ह्या श्रेणीला 'फिबोनाची' (Fibonacci) श्रेणी म्हणतात. वरवर जरा चमत्कारिक दिसणार्‍या ह्या श्रेणीबद्दल खूप मनोरंजक गोष्टी आहेत. पहिली म्हणजे जसजशी ह्या श्रेणीतील पदे वाढवत जाऊ तसतसे दोन पदातील गुणोत्तर हे १.६१८ च्या जवळजवळ जाते. हा १.६१८ हा आकडा सुवर्णांक (Golden Ratio, Golden Mean) समजला जातो. Golden Section ची आणखी एक स्वतंत्र व्याख्या आहे. ती अशी : कख ह्या सरळ रेषेवर ग हा बिंदू असा असेल की कग/गख = कख/कग तर हा Golden Section. गख, कग आणि कख यांच्या साठी फिबोनाची श्रेणीतील तीन पाठोपाठचे अंक घातले तर वरील समीकरणाची पूर्ती १०० टक्के नाही तरी ९५ टक्क्यांपेक्षा जास्त प्रमाणात होते. श्रेणीतील पुढचे अंक घेतले तर ही पूर्ती १००% होते.

निसर्गात, तसेच रोजच्या व्यवहारात सुद्धा फिबोनाची श्रेणी बर्‍याचदा दिसून येते. झाडाच्या फांद्या मध्ये मोठी फांदी आणि तिला फुटलेली लहान फांदी यांच्या आकारमानातील संबंध हा बर्‍याच वेळा ह्या श्रेणीतील पाठोपाठच्या दोन पदांसारखा असतो. एखाद्या मोठ्या इमारतीचा तळमजला रिकामा ठेवून वरील मजल्यांना आधार म्हणून जे  Y आकाराचे स्तंभ असतात, त्यातील Y ची मुख्य भुजा आणि बाकीच्या दोन भुजा यांच्या आकारमानातही असाच संबंध असतो. साधारणपणे डायनिंग टेबलाचे माप ५' x ३' असते. फुलांच्या पाकळ्या, झाडाची पाने ह्यामध्येही हे फिबोनाची आकडे दिसतात. फिबोनाची श्रेणीबद्दल बरेच लिहिण्यासारखे आहे. पण ते पुन्हा केव्हातरी. तूर्तास इतकेच.

Post to Feed



उफ्....
वा
मस्त
खूपच छान!
विवेचनपूर्ण
गणिताची भिती
थोडे अजून...
वा ओंकार
काही प्रतिशब्द
सुवर्ण विभाजन
१.६१८ हा सुवर्णांक ऑप्
१.६१८ / दा विंची
मराठी पुस्तक..
फिबोनाची शृंखलेवर पुस
फिबोनची पुस्तक
सुंदर.
मोनालिसा चे छयाचित्र
मजेदार श्रेणी
उत्तर
बरोबर
फिबोनाची श्रेणी
धन्यवाद, धन्यवाद, ...........
हॅनोईचा मनोरा
ईथे खेळा
गणितासारख्या विषयावर
फिबोनाची की पिंगल?
पिंगल
ओम च्या पुढे थोडेसे .....

Typing help hide