एप्रिल २० २००५

कोड्यांचे गुपित

ह्यासोबत

गणितानं आपल्याला लहानपणापासून सांगितलंय की २+२ म्हणजे ४. ४ हून कमी नाही आणि जास्तही नाही. पण तेच गणितशास्त्र जर आपल्याला सांगायला लागलं की क्रिकेटचा चेंडू आणि आपली चहाच्या कपबशीमधली बशी हे सारखेच आहेत. तर तुम्हाला काय वाटेल? गणितावरचा विश्वास उडेल? नाही तसं नाही होणार. तुम्ही फक्त हलक्या आवाजात म्हणाल "मीराताईंची तब्बेत बरी दिसत नाही!" जरा थोडे धीट असतील ते म्हणतील "बशी म्हणजे चेंडू! मग कप म्हणजे काय बॅट की काय?" तर कप म्हणजे बॅट नाही हो, कप म्हणजे रिंग! आता जास्तच गोंधळ झाला न?

म्हणजे असं बघा. क्रिकेटच्या चेंडूच्या आकाराचा एक नुकताच बनवलेला मातीचा (म्हणजे माती अजून ओली असलेला) चेंडू घ्या. आता हाच चेंडू दोन्ही हातांनी दाबून दाबून चपटा करता येईल की नाही? हे आणखी समजण्यासाठी अशी कल्पना करा की हा चेंडू मातीचा नाही तर अशा एका पदार्थाचा बनवला आहे की तो हवा तसा, हवा तितका दाबता येईल आणि हवा तसा, हवा तितका ताणता पण येईल. पण हा पदार्थ कापता येणार नाही आणि जोडता पण येणार नाही. तर मग जरा कल्पनाशक्ती स्वैर सोडा आणि बघा आपल्याला चेंडूचं काय, काय करता येईल! बशी तर येईलच, उपाहारगृहातील 'बिल्ट इन' वाट्या असलेलं ताटही करता येईल, घनाकृती ठोकळा, दंडगोलाकृती ठोकळा हेही करता येईल पण ह्या गोळ्याचा नुसतं दाबून दाबून, काही जोडाजोडी, कापाकापी न करता कप नाही करता येणार, किंवा आला तरी तो 'बहिरा' कप! कारण त्याला 'कान' असणार नाही.

पण अशाच पदार्थाची रिंग आपल्याकडे असेल तर ती योग्य प्रकारे दाबत-ताणत गेलो तर त्याचा छान कानवाला कप होईल. चेंडू आणि बशी यांच्यात साधर्म्य म्हणजे त्यांना भोक नसतं. तर रिंग आणि कानवाला कप यांना एकएक भोक असतं. म्हणून चेंडू, बशी, घनाकृती ठोकळा हे सर्व एका वर्गात, तर रिंग, कानवाला कप, आपल्याला सुपरिचित सीडी हे सर्व दुसऱ्या एका वर्गात. या ठिकाणी आकृतीची नेमकी मापं, त्यांचं आकारमान ह्या गोष्टीना फारसं महत्त्व नसतं. त्या आकृतीतील विविध भागांची मांडणी कशी केली आहे याला जास्त महत्त्व असतं. गणिताच्या ज्या शाखेत हा अभ्यास करतात त्याला टॉपॉलॉजी (Topology) म्हणतात. ह्या लेखात ह्याच शाखेशी संबंधित काही गोष्टी पाहू.


आकृती १

Konigsberg (क्यो(कॉ)निग्स्बर्ग?) ह्या गावात एक नदी होती. नदीचं पात्र दुभंगून पुन्हा एकत्र झालं होतं आणि पुन्हा एकदा दुभंगलं होतं. तेथील रहिवाशांच्या सोयीसाठी नदीवर एकूण ७ पूल बांधले होते. (आकृती १ पहा.) त्या गावातले लोक नेहमी शिळोप्याच्या गप्पा मारताना म्हणत की "सर्व पूल एकाच फेरीत एकेकदा आणि फक्त एकेकदाच ओलांडणं शक्य आहे का?" काहींनी प्रयत्न पण केला होता पण ते जमलं नव्हतं.


आकृती २

आता हेच आपण गणितीय भाषेत कसं मांडता येईल ते पाहू. सुरुवातीच्या विवेचनावरून लक्षात आले असेलच की ह्या प्रश्नात त्या गावातील जमिनीचं क्षेत्रफळ, पुलांची लांबी-रुंदी, त्यांच्या कठड्याची उंची याला काहीही महत्त्व नाही. म्हणून आपण भूभाग (दाबून, दाबून छोटे करून!) बिंदूंनी  दर्शवूया आणि पूल (तेही दाबून अरुंद करून!) रेषांनी दाखवूया. (आकृती २ पहा.) आता हा प्रश्न असाही विचारता  येईल की ही आकृती हात न उचलता आणि रेघेवरून रेघ न नेता काढता येईल का? (अशा रीतीने काढता येणाऱ्या आकृत्यांना युनिकर्सल [unicursal] आकृत्या म्हणतात.)


आकृती ३

हाच प्रश्न आमच्या लहानपणी आम्ही आकृती ३ मध्ये दाखवलेल्या आकृतीसाठी विचारत असू.

गणित सांगते की ह्या दोन्ही आकृत्या वर दिलेल्या अटी पाळून काढता येणे शक्य नाही. म्हणजेच त्या युनिकर्सल नाहीत.

आपल्याला दिलेली आकृती युनिकर्सल आहे की नाही ते ठरवण्यासाठी दिलेल्या आकृतीत प्रत्येक बिंदूला (vertex) किती रेषा येऊन मिळाल्या आहेत ते बघावे. जर ह्या रेषांची संख्या सम असेल तर त्याला सम बिंदू म्हणावे आणि विषम असेल तर त्याला विषम बिंदू म्हणावे.


आकृती ४

१. दिलेल्या आकृतीत जर एकही विषम बिंदू नसेल तर ती आकृती युनिकर्सल असते. (आकृती ४ पहा.) कुठूनही सुरुवात करून ही आकृती काढता येईल.


आकृती ५

२. दिलेल्या आकृतीत जर २ विषम बिंदू असतील तर ती आकृती युनिकर्सल असते. (आकृती ५ पहा) ही काढताना सुरुवात कोणत्याही विषम बिंदूपासून करावी.

३. दिलेल्या आकृतीत जर २ पेक्षा जास्त विषम  बिंदू असतील तर ती आकृती युनिकर्सल नसते. (आकृती २, आकृती ३ पहा)

तेव्हा आता तुम्हाला कोणी असे कोडे घातले तुम्हीच ते सुटेल की नाही हे तपासून पाहू शकाल आणि आकृतीशी 'हुज्जत' घालत बसावे लागणार नाही!

Post to Feed



मस्त!
युनिकर्सल = एकमार्गी अ
युनिकर्सल
उत्तम लेखमाला
उत्तम लेख
मस्तच!
चला कोडं सुटलं!
खूपच छान...
आभार, आभार!
छानच
लेख आणि लेखमाला
ऋणनिर्देश
क्षमस्व
खुलासा

Typing help hide