एप्रिल २१ २००५

द्विमितीतील सव्यापसव्य

ह्यासोबत
मागच्या भागात आपण टॉपॉलॉजी ह्या गणिताच्या शाखेची तोंडओळख करून घेतली. आज ह्याच शाखेतील आणखी काही माहिती मिळवायचा प्रयत्न करु.

ह्या लेखमालेतल्या पहिल्या भागाच्या प्रतिसादात कोणी तरी "हा लेख वाचताना कागद पेन्सिल घेऊन बसायला हवं!" असं काहीसं लिहिलेलं  आहे. आज मी जे लिहीत आहे ते वाचताना कागद-पेन्सिल इतकंच नव्हे तर कात्री आणि डिंकाची बाटली/चिकट कांडी घेऊन बसावे लागेल. आपण सर्वांनी लहानपणी कागदाचं घडीकाम, कातरकाम केलेलं आहेच. आज आपण तसंच थोडं करूया.

कागदाची एक लहानशी पट्टी घ्या, साधारण १ से.मी. रूंदीची आणि १० सें.मी. लांबीची. (आकृती १ पहा.) आता ह्या पट्टीची अरुंद टोके एकमेकांना जोडली तर आकृती २ मध्ये दाखविल्याप्रमाणे एक रिंग तयार होईल.
ह्या रिंगला दोन कडा (edges) आहेत -एक वरची आणि एक खालची. तसेच दोन पृष्ठभाग (surfaces) आहेत - एक आतला आणि एक बाहेरचा. पण आकृती १ मधील पट्टीची अशी रिंग तयार करण्याऐवजी अरुंद कडा जोडताना पट्टीला अर्धा वेढा (पीळ) दिला तर अ हा बिन्दू क ला आणि ब हा बिंदू ड ला जोडला जाईल. ह्यामुळे जी वस्तू तयार होईल ती आकृती ३ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे दिसेल. ह्या वस्तूला किती कडा आणि किती पृष्ठभाग आहेत ते पहा बरं! कडेवरून बोट फिरवत नेल्यास पुन्हा आपण त्याच ठिकाणी येतो. तसेच पृष्ठभागावरून बोट फिरवत नेल्यासही आपण परत तिथेच येतो.
म्हणजे ह्या वस्तूला एकच कड आणि एकच पृष्ठभाग आहे!

ह्या वेगळ्याच प्रकारच्या रिंगला मोबियसची (Mobius) पट्टी, मोबियसचा पृष्ठभाग असेही म्हणतात. मोबियस ह्या जर्मन गणितज्ञाने ह्याचा बराच अभ्यास केला. त्यावरून ह्या पट्टीला त्याचे नाव दिले आहे.

आपली साधी रिंग आपण कडेपासून साधारण अर्धा सें.मी. अंतरावर आणि कडेला समांतर अशी कापत गेलो तर अर्धा सें.मी. रुंदीच्या दोन साध्या रिंग्स मिळतील. पण मोबियसची पट्टी आपण अशीच कापली तर काय मिळेल असे वाटते? कापून पहा! तसेच ही पट्टी कडेपासून पाव सें.मी. अंतरावरून आणि कडेला समांतर अशी कापत गेलो तर काय होईल असे वाटते? हेही करून पहा. (त्यासाठी मोबियसची आणखी एक पट्टी  आधी तयार  करून ठेवावी लागेल!)

एकच कड व एकच पृष्ठभाग असल्याने कधी कधी मोठमोठे वाहकपट्टे (कन्व्हेअर बेल्ट्स) मोबियसच्या पट्टीसारखे बनवतात. त्यामुळे पट्ट्याच्या दोन्ही बाजूंची झीज सारखीच होते. (साध्या रिंगसारख्या पट्ट्यामध्ये एकच बाजू जास्त झिजेल.)

यापुढील भाग समजायला किंवा डोळ्यासमोर आणायला थोडा कठीण आहे. पण मनोगतींच्या बुद्धीची सरासरी पातळी बरीच वरची आहे तेव्हा फारशी अडचण येऊ नये. आपल्याला माहीत आहेच की आपण त्रिमित विश्वात राहतो. अशी कल्पना करा की असे काही चपटे जीव आहेत जे द्विमित विश्वात रहात आहेत. आकृती ४ पहा. आकृतीतील प्राण्याचे तोंड डावीकडे आहे. आता हा प्राणी त्या सबंध विश्वात कितीही, कसाही फिरला तरी त्याचे तोंड डावीकडे ते डावीकडेच रहाणार.

समजा ह्या विश्वाला आपण अर्धा वेढा(पीळ) देऊन त्याची मोबियसची पट्टी बनवली! मग ह्या प्राण्याचं काय होईल? डावीकडे तोंडवाला हा प्राणी जर ह्या पीळ पडलेल्या विश्वात एक फेरफटका मारून परत पहिल्या जागी आला तर त्याच्यात काही बदल होईल का? होईल तर! आकृती ५ पहा. 1 ह्या स्थानापासून निघालेला प्राणी 4 ह्या स्थानावर पोहोचतो तेव्हा त्याचे पाय वर गेलेले दिसत आहेत. ते सरळ करण्यासाठी त्याला त्या पट्टीतच फिरावे लागेल आणि असे फिरल्यावर पाय सरळ झाले तरी त्याचे तोंड उजवीकडे आलेले आढळेल! जसे आपण त्रिमित विश्वात रहातो तसेच हे प्राणी द्विमित विश्वावर नव्हे तर द्विमित विश्वात रहातात हे लक्षात घ्यावे. 

ह्यावरून लक्षात येईल की ह्या पीळ पडलेल्या पट्टीवरून एखादी द्विमित (चपटी) वस्तू फिरवून आणली तर तिच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंची अदलाबदल होते.

आता अशी कल्पना करा की असे एखादे त्रिमित विश्व आहे की ज्याला असाच पीळ पडलेला आहे आणि आपण त्या विश्वात रहात आहोत! तर आपल्या 'सव्य' वस्तू  सबंध विश्वातून फिरवून आणून 'अपसव्य' करता येतील! आणि अपसव्यच्या सव्य करता  येतील. म्हणजे चपलाबुटांच्या कारखानदारांना किती सोयीचं! फक्त डाव्याच पायाचे बूट बनवायचे आणि निम्मे बूट ह्या पीळ पडलेल्या विश्वातून फिरवून आणायचे की झाले उजव्या पायाचे बूट तयार!

सुप्रसिद्ध वैज्ञानिक जयंत नारळीकर ह्यांनी ह्याच कल्पनेवर आधारित एक सुंदर विज्ञान-काल्पनिका लिहिली आहे. तिचं नाव "उजव्या सोंडेचा गणपती". साधारण पंचवीसेक वर्षांपूर्वी ती एका दिवाळी अंकात -बहुतेक किर्लोस्करच्या- प्रसिद्ध झाली होती. नंतर नारळीकरांच्या 'यक्षांची देणगी' ह्या कथासंग्रहात ती समाविष्ट केली गेली. जिज्ञासूंनी ती अवश्य वाचावी. कथा वाचनीय तर आहेच पण लेखातून न समजलेल्या काही गोष्टी समजायला पण तिची मदत होईल.

'गणितातील मौजा' च्या आधीच्या भागांप्रमाणेच हा अखेरचा भागही मनोगतींना रंजक वाटावा अशी अपेक्षा.

समाप्त

Post to Feed



मोबियस
अभिनंदन!
सुंदर लेख...
काही प्रश्न....
त्रिमित विश्व
छान

Typing help hide