प्रकरण ४.वक्र अवकाश,गुरुत्वबल व विश्व याविषयी प्राध्यापकांचे भाषण भाग १
सभ्य स्त्रीपुरुषहो,
        आज वक्र पृष्ठभाग व त्याचा गुरुत्वबलाशी संबंध यावर बोलणार आहे..वक्र रेषा किंवा वक्र पृष्ठभाग यांची कल्पना आपण सगळे करू शकता याविषयी मला मुळीच शंका नाही. पण वक्र त्रिमिति अवकाश म्हटले की तुमचा चेहरा लांब होणार आणि ही काहीतरी वेगळीच किंवा कल्पनातीत (supernatural) गोष्ट आहे असे तुम्ही समजणार. खरे पहाता त्यात असे भीतीदायक काय आहे आणि खरेच ही कल्पना वक्र पृष्ठभागापेक्षा इतकी अनाकलनीय आहे का? तुमच्यापैकी बरेच जण काही विचार करून म्हणतील की वक्र अवकाशाची कल्पना करणे अवघड आहे कारण जसा पृथ्वीच्या गोलाचा वक्र पृष्ठभाग किंवा खिंड (saddle)तुम्ही बाहेरून पाहू शकता तसे वक्र अवकाश पहाणे शक्य नसते.पण तसे म्हणणारे वक्र या शब्दाचा गणिती अर्थ खऱ्या अर्थाने जाणत नाहीत.तो नेहमीच्या वापरातील त्या शब्दाच्या अर्थाहून भिन्न आहे. समपातळीच्या पृष्ठभागावर भौमितीक रेखांकित आकृतींचे असलेले गुणधर्म ज्या पॄष्ठभागावर वेगळेच असतात त्या पृष्ठभागास  आम्ही गणिती,  वक्र समजतो युक्लिडच्या नियमापासून  त्या गुणधर्मातील फारकतीवरून वक्रतामापन आम्ही करतो.कागदाच्या सपाट पृष्ठभागावर एक त्रिकोण काढला तर त्याच्या तीन कोनांची बेरीज दोन काटकोन होते हे आपण प्राथमिक भूमितीत शिकतो.तो कागद गुंडाळी करून दंडगोल,शंकू किंवा आणखी गुंतागुंतीच्या आकारात बदलला तर त्या त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज तेवढीच रहाते. पृष्ठभागाची भूमिती अशा रूपांतरामुळे बदलत नाही. या आकृतींच्या आतील पृष्ठभाग सपाटच असतात.पण तोच कागद चेंडू वा पृथ्वीसारख्या गोलाकारावर किंवा खिंडीसारख्या आकारावर ओढाताण करूनही बसत नाही.गोलाकारावर त्रिकोण काढला तर युक्लिडचे भूमितीचे नियम लागू होत नाहीत.पृथ्वीच्या उत्तर गोलार्धातील दोन रेखांश व विषुववृत्त यांचा त्रिकोण तयार केल्यास त्यातील पायाकडील दोन कोनच प्रत्येकी काटकोन असतात त्यामुळे तिन्ही कोनांची बेरीज नेहमीच दोन काटकोनांपेक्षा अधिक तर खिंडीसारख्या पइष्ठभागाव्रील त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज नेहमीच दोन काटकोनांपेक्षा कमी असते..  
               त्यामुळे पृष्ठभागाची वक्रता जाणून घेण्यासाठी या आकृतीच्या भूमितीचा अभ्यास करणे आवश्यक असते कारण बाहेरून पाहिल्यास चुकीचे निष्क्रर्ष निघण्याची शक्यता असते.थोडक्यात प्रत्यक्षातील भौमितीक आकृत्या युक्लिडचे नियम पाळतात किंवा नाहीत हा महत्वाचा प्रश्न आहे.     त्यासाठी भूमितीतील प्रत्यक्ष आकृत्यांच्या व्याख्या प्रथम ठरवून घ्यायला हव्यात.अगदी सुरवातीला या आकृत्या ज्या सरळ रेषेपासून बनतात,त्या सरळ रेषेची व्याख्या आपल्या मते दोन बिंदूंमधील कमीतकमी अंतर ही आहे. .ते अंतर दोन बिंदूंमध्ये दोरी ताणून वा निरनिराळ्या पद्धतीने ते बिंदू जोडून त्यातील कमीतकमी अंतर मापनासाठी काठ्या वापरून ते ठरवणे.या सरळ रेषा ठरवण्याच्या पद्धतीवर प्रत्यक्ष परिस्थितीचा परिणाम होतो हे दाखवण्यासाठी अक्षाभोवती कायम एकाच गतीने फिरणारा एक प्रचंड वर्तुळाकार तक्ता (circular platform) घेऊ व आकृतीमधील निरीक्षक(1)या वर्तुळाकाराच्या परिघावरील दोन बिंदूंमधील कमीतकमी अंतर ठरवत आहे. 
   
 
  ५" लांबीच्या अनेक छोट्या काठ्यां भरलेली पेटी त्याच्याजवळ आहे.व दोन बिंदूंना अश्या कमीतकमी काठ्या वापरून (म्हणजे सरळ रेषेने) जोडण्याचा तो प्रयत्न करतो.वर्तुळाकार फिरत नसेल तर तो तुट्क रेषेने दाखवलेल्या रेषेवर त्या काठ्या ठेवेल पण फिरण्याच्या गतीमुळे मी मागील चर्चेत सांगितल्याप्रमाणे त्या काठ्यांच्या सापेक्ष लांबी कमी होईल.परिघाजवळ असणाऱ्या काठ्या तेथील वेह अधिक असल्यामुळे अधिक आखूड तर वर्तुळमध्याजवळील त्यामानाने कमी आखूड होतील.त्यामुळे काठीमुळे अधिक अंतर व्यापण्यासाठी ती वर्तुळमध्याच्या अधिक जवळ असणे आवश्यक आहे पण त्याचबरोबर रेषेची दोन टोके परिघावर असल्यामुळे असे करणे तोट्याचे ठरेल.त्यामुळे परिणामी कमीतकमी अंतर हे केंद्रबिंदूकडे वक्र होणारी वक्र रेष आहे असे दिसते.अशा वेगवेगळ्या काठ्या न वापरता निरीक्षकाने एक दोरी ताणून या दोन बिंदूंना जोडण्याचा प्रयत्न केला ( आणि दोरी कितीही जोराने ताणली तरी) तरी परिणाम तोच असेल कारण दोरीच्या भागांचे सापेक्ष आकुंचन याच पद्धतीने होईल.याठिकाणी या आकुंचनाचा फिरण्याच्या वेगामुळे निर्माण होणाऱ्या केंद्रोत्सारी प्रेरणेशी काही संबंध नाही. उलट ती  प्रेरणा उलट दिशेने कार्य करते.वर्तुळाकारावरील निरीक्षकाने या दोन बिंदूंना जोडणारा   प्रकाशकिरण या सरळरेषेशी तुलना करण्यासाठी वापरला तर तोही या रेषेप्रमाणेच वक्र झाल्याचे आढळेल.मात्र त्या वर्तुळाकाराबाहेरील स्थिर निरीक्षकाना मात्र तो किरण सरळ रेषेत गेला असेच वाटेल. त्यांच्या मते फिरणाऱ्या निरीक्षकाने सरळरेषा काढताना नोंदवलेला  परिणाम हा वर्तुळाकाराचे फिरणे व प्रकाशकिरणाचे सरळ जाणे या दोन्हींचा एकत्रित परिणाम आहे आणि फिरणाऱ्या ग्रामोफोन तबकडीवर हाताने सरळ रेघ मारण्याचा प्रयत्न केल्यास उमटणारा ओरखडा असाच वक्र दिसेल असे त्यांचे समर्थन असेल,.फिरणाऱ्या निरीक्षकाला आपण मारलेली वक्र रेषा हीच व्याख्येनुसार ती त्या दोन बिंदूंमधील कमीतकमी अंतर व  प्रकाश किरणाशी सुसंगत असल्यामुळे  सरळ रेषा आहे असे वाटणार.समजा आता परिघावरील तीन बिंदू याच पद्धतीच्या सरळ रेषांनी जोडल्यास मिळणाऱ्या त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज दोन काटकोनांपेक्षा कमी असेल त्यामुळे आपल्याभोवतालचे अवकाश वक्र आहे असा त्याचा समज होणार.
        आता दुसरे उदाहरण घेऊ.वर्तुळाकार तक्त्यावरील निरीक्षक २ व ३ अनुक्रमे व्यास व परीघ यांची मोजणी करतात.२ क्रमांकाच्या मोजणी पट्टीची गती लांबीशी लंबरूप असल्यामुळे लांबीवर तिचा परिणाम होत नाही उलट परीघ मोजणा़ऱ्या निरीक्षकाच्या पट्ट्या केंद्रापासून जास्तीत जास्त अंतरावर व वेगात फिरत असल्यामुळे त्यांच्या लांबीत आकुंचन होते.अशा प्रकारे मोजणी करून परीघ व व्यास यांचे गुणोत्तर काढले तर ते पाय(pi) पेक्षा जास्त असेल.हाही अवकाशाच्या वक्रतेचा परिणाम आहे. फिरण्याच्या गतीचा परिणाम केवळ लांबीवरच होतो असे नाही तर परिघावर घड्याळ ठेवल्यास ते अधिक वेगाने फिरत असल्यामुळे केंद्रस्थानी असलेल्या घड्याळापेक्षा मागे पडॅल.४ व ५ क्रमांकाचे निरीक्षक  केंद्रस्थानी आपली घड्याळे बरोबर लावून घेतील व  निरीक्षक ५ काही वेळ परीघावर जावून परत केंद्रस्थानी आला तर निरीक्षक ४ च्या घड्याळापेक्षा त्याचे घड्याळ मागे पडल्याचे त्याला आढळेल. त्यामुळे तक्त्यावरील निरनिराळ्या स्थानी भौतिक क्रिया निरनिराळ्या गतीने पार पडतात असे त्याला वाटेल.कल्पना करा की निरीक्षक थांबून या भौमितीय मापनातील अनपेक्षित परिणामांच्या कारणावर थोडा विचार करतात.आता कल्पना करूया की तक्ता सर्व दिशांनी बंदिस्त केला व तो एका फिरणाऱ्या खिडक्या नसलेल्या खोलीसारखा झाला तर त्यांना बाहेरील विश्वाच्या तुलनेत आपण फिरत आहोत ही कल्पना येणार नाही(जसे पृथ्वीवर रहाणाऱ्यांचे होते) व अशा परिस्थितीत मापनातील परिणामी बदलाचे स्पष्टीकरण बाहेरील स्थिर परिस्थितीचा विचार न करता केवळ वर्तुळाकार खोलीतील परिस्थितीच्या संदर्भात करू शकतील का? भूमितीतील बदल ज्या स्थिर बाह्य स्थितीच्या संदर्भात स्पष्ट करता येतात ते बाह्य क्षेत्र व तक्ता यांच्यावरील भौतिक स्थितीतील फरक कोठल्या तरी नव्याच शक्तीमुळे घडत आहे व ती शक्ती तक्त्याच्या केंद्रबिंदूपासून परीघाकडे सर्व पदार्थांना खेचण्यास कारणीभूत आहे अशी त्यांची समजूत होईल व जे परिणाम दिसतात उदा: घड्याळाचे मंदावणे या शक्तीमुळेच घडते असे त्याना वाटेल.प्रत्यक्षात ही काही नवी शक्ती आहे का?बाह्य क्षेत्रातही सर्व वस्तू पृथ्वीच्या केंद्राकडे ओढले जातात व त्यालाच आपण गुरुत्व बल म्हणतो.अर्थात यात एक फरक म्हणजे तक्त्यावरील बल केंद्रापासून वस्तू दूर लोटते तर गुरुत्व बल केंद्राकडे खेचते हे मान्य.पण यात बलाच्या वितरण प्रमाणाचाच काय तो फरक आहे.पण दुसरे एक उदाहरण देऊन संदर्भ क्षेत्रांच्या असमान गतीमुळे निर्माण होणारे बल हे अगदी हुबेहूब गुरुत्व बलासारखेच भासेल हे दाखवता येते.. 
        
शास्त्रीय माहिती कितपत समजू शकते याविषयी मनोगतींचा अभिप्राय अपेक्षित  आहे.