एक पाय नाचव रे...

लहान बाळांना खेळवताना म्हटलं जाणारं हे गाणं आपल्यापैकी बऱ्याच जणांनी ऐकलं असेल पण आता मी जो पाय नाचव म्हणते आहे तो बाळाचा पाय नाही, तो गणितातला पाय आहे. खरे तर त्या पायाला नाचवावे लागतच नाही. तो स्वत:च गणितामध्ये सर्वत्र नाचत असतो, तेही कत्थक नृत्यातल्या सारख्या गिरक्या घेत! कारण त्याचं आणि गिरकीचं फार जवळचं नातं आहे.

शाळेतील गणितात तो आपल्याला पहिल्यांदा भेटतो. ह्या पायसाठी वापरले जाणारे चिन्ह म्हणजे p (इंग्रजीत लिहिताना pi,  उच्चारी  पाय् ). वर्तुळाची त्रिज्या दिलेली असताना वर्तुळाचा परीघ काढणे किंवा वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढणे यासाठी आपल्याला हा लागतो. म्हणजे त्र त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परीघ = २*p*त्र, क्षेत्रफळ = p*त्र*त्र हे आपल्याला सांगितलेलं असतं. शाळेनंतर गणिताशी फारसा संबंध नसणाऱ्यांना p ची व्याख्या/किंमत विचारली तर त्यांच्यापैकी बरेच जण ह्याचे उत्तर बावीस सप्तमांश असे सांगतील. पण ही pची व्याख्या तर नाहीच पण ही pची नेमकी किंमतही नाही. बावीस सप्तमांश हे pच्या किमतीचे समीपन (ऍप्रॉक्झिमेशन) आहे. आणि p ह्या संख्येची व्याख्या? ती आहे : वर्तुळाच्या परिघाचे त्याच्या व्यासाशी गुणोत्तर. २२/७, ३.१४२, ३.१४१५९२६ ह्या सर्व ह्या गुणोत्तराच्या समीपवर्ती (ऍप्रॉक्झिमेट) किमती आहेत. हे गुणोत्तर किंवा ही संख्या गणिताच्या भाषेत 'रॅशनल' संख्या नाही. म्हणजे ती "एक पूर्णांक भागिले दुसरा पूर्णांक" अशा रूपात लिहिता येणार नाही. ह्या गुणोत्तराला p असे म्हटले जाऊ लागले कारण त्याचा संबंध परिघाशी, परिमितीशी म्हणजेच perimeter ह्या शब्दाशी आहे. त्या शब्दाचे आद्याक्षर p आणि त्याच्या जोडीचे ग्रीक वर्णमालेतील अक्षर p. म्हणून हे नाव दिले गेले.

भूमितीमध्ये कोन मोजण्याचे माप अंश हे असते हे आपल्याला माहीत आहेच. म्हणजे ९० अंशाचा कोन, ६० अंशाचा कोन इत्यादी. पण कोन मोजण्याचे आणखी पण एक माप आहे; ते म्हणजे रेडियन. आता साहजिकच मनात विचार येईल की अंश आणि रेडियनचा संबंध काय? (जसे आपण सें.मी. आणि इंच यांचा संबंध सांगतो.) तर १८० अंश म्हणजे १p रेडियन्स अर्थातच २p रेडियन्स म्हणजे ३६० अंश (एक गिरकी!), अर्धा p रेडियन्स म्हणजे ९० अंश, १ रेडियन म्हणजे ५७.२९६ अंश(सुमारे).

pचा शोघ कसा, कुणी लावला ह्यासंबंधी काही नोंदी मिळत नाहीत पण वर्तुळाचा परीघ हा व्यासाच्या तिपटीहून थोडा जास्त असतो हे फार पूर्वीपासून लोकांना माहीत होते. ख्रिस्तपूर्व १८२० च्या आसपास इजिप्शियन लोकांना वर्तुळाचा परीघ आणि त्याचा व्यास ह्यातील संबंध माहिती होता आणि त्यांच्या आकडेमोडीप्रमाणे ते गुणोत्तर २५६/८१ (सध्याच्या भाषेत ३.१६०५....) इतके होते अशा आशयाच्या नोंदी सापडतात. परंतु pची किंमत काढण्याचा पहिला पद्धतशीर प्रयत्न करण्याचे श्रेय आर्किमिडीजला आहे. (हो, तोच ग्रेट, 'युरेका फेम' आर्किमिडीज!) त्याने हे कसे केले हे समजण्यासाठी आकृती पहा. त्यावरून लक्षात येईल की वर्तुळाचे क्षेत्रफळ हे आतील त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळापेक्षा जास्त आणि बाहेरील त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळापेक्षा कमी असणार. जर त्रिकोणाऐवजी वर्तुळाच्या आत आणि बाहेर तीनहून अधिक बाजू असलेली बहुभुजाकृती काढली तर हे तीन आकडे एकमेकांच्या आणखी जवळ येतील. इतकेच नव्हे तर बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या जसजशी वाढवत जाऊ तसतसे हे तीन आकडे एकमेकांच्या अधिकाधिक जवळ येऊ लागतील.

आर्किमिडीजने ९६ बाजू असलेल्या बहुभुजाकृती वर्तुळाच्या आत आणि बाहेर काढल्या, त्यांची क्षेत्रफळे काढली. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ p*त्रिज्या*त्रिज्या हे माहीत होतेच. त्यावरून त्याने pची किंमत २२३/७१ आणि २२/७ यांच्या दरम्यान आहे हे निश्चित केले. त्याने हे सर्व केले तो काळ होता ख्रिस्तपूर्व २५०! म्हणजे त्यावेळी त्रिकोणमिती अस्तित्वात आलेली नव्हती, अपूर्णांक लिहिण्यासाठी दशांशपद्धती पण नव्हती. आकडेमोडीसाठी अंकगणितातील ४ मूलकृत्ये आणि भूमिती एवढेच होते. अशा वेळी आर्किमिडीजने pच्या किमतीच्या मर्यादा ठरवल्या, त्याही अशा की दोन मर्यादांमधील तफावत खूपच कमी! हे पाहिले की त्याच्यापुढे नतमस्तक होणे एवढेच आपल्या हातात उरते. त्या मर्यादांपैकी एक म्हणजे २२/७ ही अजूनही pची समीपन किंमत म्हणून प्रचलित आहे.

ह्यानंतर pची किंमत जास्तीत जास्त अचूकपणे काढण्याच्या दिशेने काही प्रयत्न झाले. त्यातील विशेष नमूद करण्यासारखा प्रयत्न लुडोल्फ व्हॅन सिलेन ह्या जर्मन गणितज्ञाने केला. त्याने आपले जवळजवळ सर्व आयुष्य यासाठी खर्च केले आणि १५९६ मध्ये pची किंमत त्याने ३५ दशांशस्थळांपर्यंत काढली. इतकेच नव्हे तर आपल्या थडग्यावर "हा माणूस अमुक तारखेला जन्माला आला, अमुक तारखेला मरण पावला" अशा प्रकारचे काही न लिहिता हे ३५ अंक लिहिले जावेत अशी इच्छा व्यक्त केली आणि ती पूर्णही केली गेली. अलीकडे, म्हणजे साधारण १० वर्षापूर्वी क्रे हा महासंगणक वापरून ही किंमत १,२५४,५३९ एवढ्या दशांशस्थळांपर्यंत काढण्यात यश मिळाले आहे.

आता कोणीही म्हणेल की ही एवढी दशांशस्थळे लक्षात कशी ठेवायची आणि मुख्य म्हणजे एवढी दशांशस्थळे घेऊन करायचे काय? आकडेमोड करताना २२/७ किंवा फार तर ३.१४ ही किंमत धरून काम भागते की! तर तेही खरेच. पण काही लोकांनी pची किंमत काही दशांशस्थळांपर्यंत तरी लक्षात ठेवण्यासाठी काही युक्त्या शोधून काढल्या आहेत. त्यापैकी माझ्या लक्षात राहिलेली युक्ती (कारण उघड आहे!) म्हणजे हे वाक्य : May I have a large container of coffee प्रत्येक शब्दातील अक्षरांची संख्या एकेक अंक दर्शवते. पहिल्या अंकानंतर दशांशचिन्ह द्यायला मात्र विसरू नका!
---------------------------------------------------------
टीप : ह्या मालेतील मागील लेखांकाच्या शेवटी मी 'समाप्त' असे लिहिले आहे. पण काही मनोगतींनी 'तुम्ही गणितावर लेख लिहिणे का थांबवले?' अशी प्रेमळ तक्रार केली म्हणून ह्या लेखमालेचे पुनरुज्जीवन केले आहे. बघू माझा लिहिण्याचा आणि मनोगतींचा ते वाचण्याचा उत्साह किती टिकतो!